Glosario elemental lógica difusa

• Conjunto difuso: Un conjunto difuso se define por su funcin de pertenencia. Un punto del universo, $x$, pertenece a un conjunto difuso $A$ con un grado de pertenencia, $0 \le \mu_A(x) \le 1$.

  
  La figura 10 muestra una función de pertenencia triangular.

  Figura 10: Un conjunto difuso triangular

  

  
  

• Prototipo de conjunto difuso: un punto es un prototipo de conjunto difuso si sus miembros grado es igual a 1.

  
  

• Operadores:
  • $Y$ : operador de conjunción, denotado $\wedge$, los operadores más comunes son mínimo y producto.

  • $O$ : operador disyunción, los más comunes son los máximo y suma.

  • $es$ : la relación $x es A$ se cuantifica el grado de pertenencia de $x$ al conjunto difuso $A$.

  
  

• Partición: Partición es la definición de los conjuntos difusos para una variable. Estos conjuntos se designan $A_1$, $A_2$, ...

  
  

• Estandarizado partición difusa: una partición difusa de la variable $X_i$ se llama partición borrosa estandarizada si $$\forall x \in X_i, \sum_j \mu_{A_j^i} (x) = 1$$.

  
  

• Artículo: un objeto o individuo se compone de un $p$-dimensional vector de entrada $x$, y, finalmente, de un vector de salida $q$-dimensional, $y$.

  
  

• Regla difusa: Una regla difusa se escribe como Si la situación entonces la conclusión. La situación, la premisa de la regla llamada o antecedente, se define como una combinación de relaciones, tales como $x es A$ para cada componente del vector de entrada. La parte final se llama consecuencia o conclusión.

  
  

• Hay dos tipos principales de reglas difusas:
  1. Mamdani : Un tipo Mamdani regla difusa, la conclusión es un conjunto difuso, está escrito: K
     $SI x_1 es A_1^i Y \ldots Y x_p es A_p^i ENTONCES y_1 es C_1^i \ldots Y y_q es C_q^i$

     donde $A_j^i y C_j^i$ son conjuntos difusos que definen los espacios de partición de entrada y salida.

     
     

  2. Takagi-Sugeno : En el modelo Sugeno de la conclusión de la regla es clara. Esta regla $i$ para la salida $j$ se calcula como una función lineal de las entradas: $y_j^i = b_{jo}^i + b_{j1}^i x_1 + b_{j2}^i x_2 + \cdots + b_{jp}^i x_p$, también señaló: $y_j^i = f_j^i(x)$.

  
  

• Regla incompleta: una regla difusa se dice que es incompleta si su premisa es definido por un subconjunto de las variables de entrada solamente. La regla $SI x_2 es A_2^1 ENTONCES y es C_2$, es incompleta porque la variable $x_1$ no está involucrado en su definición. Reglas de los expertos son en su mayoría normas incompletas. Formalmente, una norma incompleta se define por una combinación de conectivas lógicas implícitas $Y$ y $O$ que operen en todas las variables. Si el universo de la variable $x_1$ se divide en $3$ los subconjuntos borrosos, La regla incompleta anterior también se puede escribir de la siguiente manera:
  $SI \left(x_1 es A_1^1 O x_1 es A_1^2 O x_1 es A_1^3 \right) Y x_2 es A_2^1 ENTONCES y es C_2$.

  
  

• Grado de veracidad: para una determinada norma, $i$, el grado de verdad, por ejemplo, también llamado peso, denota $w_i$, el resultado de una combinación de elementos de operación de la premisa: $w_i=\mu_{A_1^i}(x_1) \wedge \ldots \wedge \mu_{A_p^i}(x_p)$, donde $\mu_{A_j^i}(x_j)$ es el grado de pertenencia del valor de $x_j$ en el conjunto difuso $A_j^i$.

  
  

• Actividad: Un ejemplo activa una regla o una regla activa un ejemplo, si el grado de verdad de la regla, por ejemplo, es distinto de cero.

  
  

• Prototipo de una regla: un ejemplo es el prototipo de una regla si su grado de verdad a esta es una regla.

  
  

• Sistema de inferencia difusa (FIS): Un sistema de inferencia difuso consta de tres bloques, como se muestra en la figura 11. La primera etapa fuzzification convierte valores numéricos a diferentes grados de adhesión a la partición difusa. El segundo bloque es el motor de inferencia, que consiste en el conjunto de reglas. Por último, una etapa defuzzificación permite, si es necesario, para inferir un control de la red, utilizable por ejemplo, a partir del resultado de las reglas de agregación. El número de reglas del sistema se denota $r$.

  Figura 11: Un sistema de inferencia difusa

  

  
  

• Salida inferida por el sistema: el valor deducido para una entrada dada, depende por supuesto, sobre la base de las reglas, sino también los operadores de agregación y defuzzificación.

  Normas de adición son disyuntiva, lo que significa que con cada regla se abre una nueva posibilidad para la salida. Los dos principales operadores son máximo y suma. Los niveles de activación resultantes son $r$ es el número de reglas y $m$ el número de términos lingüísticos de la partición de la variable de salida:

  • max: $$\forall j =1,\ldots,m$$
    $\qquad W^j = \left \{ \underset{r}{max} \left( w^r(x) \right) \vert C^r = j \right \}$

  • sum: $$\forall j =1,\ldots,m$$
    $\qquad W^j = min \left ( 1, \left \{ \sum\limits_r \left( w^r(x) \right) \vert C^r = j \right \} \right )$

  Varios operadores defuzzificación están disponibles. La figura 12 enseña la defuzzificación para un representante de las dos familias principales.

  Figura 12: Un ejemplo de defuzzificación

  

  Sea $\widehat y_i$ value deducirse, por ejemplo, $i$.

  Con el promedio de máximos, el resultado es $\widehat y_i= mm$. . Este operador considera sólo el segmento correspondiente al nivel máximo de activación. Además, trabaja principalmente dentro de un término lingüístico. Otros valores promedio que son posibles, tales como el mínimo o máximo de los máximos.

  El operador de ponderación de áreas promueve la interpolación entre los términos lingüísticos. La salida se calcula por la fórmula:

  $$\widehat y_i=\frac{\sum\limits_{j=1}^{m}{\alpha}^{C^j} area(C_{\alpha}^j)}{\sum\limits_{j=1}^{m}area(C_{\alpha}^j)}$$ (1)

  
  
  donde $m$ es el número de conjuntos difusos en la partición, $\alpha = W^j$ es el nivel de activación resultante de los $j$, ${\alpha}^{C^j}$ es la abscisa del centro de gravedad de $C_{\alpha}^j$, et $C_{\alpha}^j$ un nuevo conjunto difuso, definido desde $C^j$ como :
  $$\mu^{C_{\alpha}^j}(x_i)= \left\{\begin{array}{cl} \mu(x_i) & \qqu... ...\mu^{C^j}(x_i) \le \alpha\\ \alpha & \qquad de otra manera \end{array}\right.$$

  
  

• Aprendizaje supervisado: El aprendizaje supervisado es inducir a las relaciones entre las entradas y la salida de una dimensión de un sistema a partir de un conjunto de ejemplos. El conjunto de entrenamiento se compone de ejemplos $n$.

  
  

• Error Cuadrático promedio: MSE, se calcula como:
  $$EQM = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n\left\Vert \widehat{y_i} - y_i \right\Vert^2$$

  
  

• Error promedio: A diferencia de la anterior, lo que equivale a una medición. Su expresión es:
  $$ErM = \frac{1}{n} \sqrt{\sum_{i = 1}^n\left\Vert \widehat{y_i} - y_i \right\Vert^2} = \frac{\sqrt{EQM}}{\sqrt{n}}$$