Petit glossaire de la logique floue

• Ensemble flou : Un ensemble flou est défini par sa fonction d'appartenance. Un point de l'univers, $x$, appartient à un ensemble, $A$ avec un degré d'appartenance, $0 \le \mu_A(x) \le 1$.

  
  La figure 10 montre un ensemble de forme triangulaire.

  Figure 10: Un ensemble flou de forme triangulaire

  

  
  

• Prototype d'un ensemble : un point est un prototype d'un ensemble flou si son degré d'appartenance à cet ensemble vaut un.

  
  

• Opérateurs :
  • $ET$ : opérateur de conjonction, noté $\wedge$, les plus employés sont le minimum et le produit.

  • $OU$ : opérateur de disjonction, les plus employés sont le maximum et la somme.

  • $est$ : la relation $x est A$ est quantifiée par le degré d'appartenance de la valeur $x$ au sous-ensemble flou $A$.

  
  

• Partitionnement : Le découpage du domaine de définition d'une variable en sous-ensembles flous est appelé partitionnement. Ces ensembles sont notés $A_1$, $A_2$, ...

  
  

• Partition floue forte : La partition de la variable $X_i$ sera appelée une partition floue forte si $$\forall x \in X_i, \sum_j \mu_{A_j^i} (x) = 1$$.

  
  

• Exemple : un exemple ou individu est formé d'un vecteur d'entrée $x$ de dimension $p$ et, dans le cas général, d'un vecteur $y$, de dimension $q$.

  
  

• Règle floue : Une règle floue est de la forme Si je rencontre telle situation Alors j'en tire telle conclusion. La situation, appelée prémisse ou antécédent de la règle, est définie par une combinaison de relations de la forme $x est A$ pour chacune des composantes du vecteur d'entrée. La partie conclusion de la règle est appelée conséquence, ou encore simplement conclusion.

  
  

• Les règles sont de deux types :
  1. Mamdani : Une règle floue de type Mamdani, dont la conclusion est un ensemble flou, s'écrit :
     $SI x_1 est A_1^i ET \ldots ET x_p est A_p^i ALORS y_1 est C_1^i \ldots ET y_q est C_q^i$

     où $A_j^i et C_j^i$ sont des ensembles flous qui définissent le partitionnement des espaces d'entrée et de sortie.

     
     

  2. Takagi-Sugeno : Dans le modèle de Sugeno la conclusion de la règle est nette. Celle de la règle $i$ pour la sortie $j$ est calculée comme une fonction linéaire des entrées : $y_j^i = b_{jo}^i + b_{j1}^i x_1 + b_{j2}^i x_2 + \cdots + b_{jp}^i x_p$, également notée : $y_j^i = f_j^i(x)$.

  
  

• Règle incomplète : Une règle floue sera dite incomplète si sa prémisse est définie par un sous-ensemble des variables d'entrée seulement. La règle, $SI x_2 est A_2^1 ALORS y est C_2$, est incomplète car la variable $x_1$ n'intervient pas dans sa définition. Les règles formulées par les experts sont principalement des règles incomplètes. Formellement, une règle incomplète est définie par une combinaison implicite de connecteurs logiques $ET$ et $OU$ opérant sur l'ensemble des variables. Si l'univers de la variable $x_1$ est découpée en $3$ sous-ensembles flous, la règle incomplète ci-dessus peut aussi s'écrire de la façon suivante :
  $SI \left(x_1 est A_1^1 OU x_1 est A_1^2 OU x_1 est A_1^3 \right) ET x_2 est A_2^1 ALORS y est C_2$.

  
  

• Degré de vérité : Pour une règle donnée, $i$, son degré de vérité pour un exemple, également appelé poids, et noté $w_i$, résulte d'une opération de conjonction des éléments de la prémisse : $w_i=\mu_{A_1^i}(x_1) \wedge \ldots \wedge \mu_{A_p^i}(x_p)$, où $\mu_{A_j^i}(x_j)$ est le degré d'appartenance de la valeur $x_j$ à l'ensemble flou $A_j^i$.

  
  

• Activité : Un exemple active une règle, ou bien une règle active un exemple, si le degré de vérité de la règle pour l'exemple est non nul.

  
  

• Prototype d'une règle : un exemple est un prototype d'une règle si son degré de vérité pour cette règle vaut un.

  
  

• Système d'inférence floue (SIF) : Un système d'inférence floue est formé de trois blocs comme indiqué sur la figure 11. Le premier, l'étage de fuzzification transforme les valeurs numériques en degrés d'appartenance aux différents ensembles flous de la partition. Le second bloc est le moteur d'inférence, constitué de l'ensemble des règles. Enfin, un étage de défuzzification permet, si nécessaire, d'inférer une valeur nette, utilisable en commande par exemple, à partir du résultat de l'agrégation des règles. Le nombre de règles du système est noté $r$.

  Figure 11: Un système d'inférence floue

  

  
  

• Sortie inférée par le système : la valeur inférée, pour une entrée donnée, dépend bien entendu de la base de règles mais aussi des opérateurs d'agrégation et de défuzzification.

  L'agrégation des règles est disjonctive, signifiant que chaque règle ouvre une nouvelle possibilité pour la sortie. Les deux principaux opérateurs sont le maximum et la somme. Les niveaux d'activation résultants sont, $r$ étant le nombre de règles et $m$ le nombre de termes linguistiques de la partition de la variable de sortie :

  • max: $$\forall j =1,\ldots,m$$
    $\qquad W^j = \left \{ \underset{r}{max} \left( w^r(x) \right) \vert C^r = j \right \}$

  • sum: $$\forall j =1,\ldots,m$$
    $\qquad W^j = min \left ( 1, \left \{ \sum\limits_r \left( w^r(x) \right) \vert C^r = j \right \} \right )$

  Plusieurs opérateurs de défuzzification sont disponibles. La figure 12 illustre la défuzzification pour un représentant des deux principales familles.

  Figure 12: Un exemple de défuzzification

  

  Notons $\widehat y_i$ la valeur inférée pour l'exemple $i$.

  Avec la moyenne des maxima, la sortie vaut $\widehat y_i= mm$. Cet opérateur considère seulement le segment correspondant au niveau d'activation maximum. Aussi, il travaille principalement au sein d'un terme linguistique. D'autres valeurs que la moyenne sont possibles, comme le minimum ou le maximum des maxima.

  L'opérateur de pondération par les aires favorise l'interpolation entre termes linguistiques. La sortie est calculée suivant la formule:

  $$\widehat y_i=\frac{\sum\limits_{j=1}^{m}{\alpha}^{C^j} area(C_{\alpha}^j)}{\sum\limits_{j=1}^{m}area(C_{\alpha}^j)}$$ (1)

  
  
  où $m$ est le nombre de sous-ensembles flous dans la partition, $\alpha = W^j$ est le niveau d'activation résultant de l'ensemble $j$, ${\alpha}^{C^j}$ est l'abscisse du centre de gravité de $C_{\alpha}^j$, et $C_{\alpha}^j$ un nouvel ensemble flou, défini à partir de $C^j$ comme :
  $$\mu^{C_{\alpha}^j}(x_i)= \left\{\begin{array}{cl} \mu(x_i) & \qquad si \mu^{C^j}(x_i) \le \alpha\\ \alpha & \qquad sinon \end{array}\right.$$

  
  

• Apprentissage supervisé : L'apprentissage supervisé consiste à induire des relations entre les entrées et la sortie, de dimension un, d'un système à partir d'un ensemble d'exemples. L'ensemble d'apprentissage comprend $n$ exemples.

  
  

• Erreur quadratique moyenne : notée $EQM$, elle est calculée comme :
  $$EQM = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n\left\Vert \widehat{y_i} - y_i \right\Vert^2$$

  
  

• Erreur Moyenne : Contrairement à la précédente, elle est homogène à une mesure. Son expression est :
  $$ErM = \frac{1}{n} \sqrt{\sum_{i = 1}^n\left\Vert \widehat{y_i} - y_i \right\Vert^2} = \frac{\sqrt{EQM}}{\sqrt{n}}$$