Variable linguistique et système d'inférence floue

• Ensemble flou : Un ensemble flou est défini par sa fonction d'appartenance. Un point de l'univers, $x$, appartient à un ensemble, $A$ avec un degré d'appartenance, $0 \le \mu_A(x) \le 1$.

  
  La figure 7 montre un ensemble de forme triangulaire.

  Figure 7: Un ensemble flou de forme triangulaire

  

  
  

• Support d'un ensemble flou : l'ensemble des points pour lesquels le degré d'appartenance est non nul, $S_A=\{x \vert \mu_A(x) > 0\}$

  
  

• Noyau d'un ensemble flou : l'ensemble des points pour lesquels le degré d'appartenance vaut 1, $K_A=\{x \vert \mu_A(x) = 1\}$

  
  

• Prototype d'un ensemble : un point est un prototype d'un ensemble flou s'il appartient au noyau.

  
  

• Partitionnement : Le découpage du domaine de définition d'une variable en sous-ensembles flous est appelé partitionnement. Ces ensembles sont notés $A_1$, $A_2$, ...

  
  

• Partition floue forte : La partition de la variable $X_i$ sera appelée une partition floue forte si $$\forall x \in X_i, \sum_j \mu_{A_j^i} (x) = 1$$.

  Figure 8: Exemple de partition floue forte

  

  
  

• Variable linguistique : Dans une partition floue forte, chaque ensemble correspond à un concept linguistique, par exemple Très faible, Faible, Moyen, Elevé, Très élevé. Pour le raisonnement les variables sont manipulées par les termes linguistiques ainsi définis, les ensembles flous assurent la correspondance avec l'univers numérique.

  
  

• Règle floue : Une règle floue est de la forme Si je rencontre telle situation Alors j'en tire telle conclusion. La situation, appelée prémisse ou antécédent de la règle, est définie par une combinaison de relations de la forme $x est A$ pour chacune des composantes du vecteur d'entrée. La partie conclusion de la règle est appelée conséquence, ou encore simplement conclusion.

  
  

• Opérateurs :
  • $est$ : la relation $x est A$ est quantifiée par le degré d'appartenance de la valeur $x$ au sous-ensemble flou $A$. Elle mesure le niveau de correspondance entre la valeur numérique $x$ et le concept linguistique représenté par l'ensemble $A$.

  • $ET$ : opérateur de conjonction, noté $\wedge$. Il généralise l'ntersection et permet, notamment, d'agréger les degrés d'appartenance au sein d'une prémisse multidimensionnelle. Les plus employés sont le minimum et le produit.

  • $OU$ : opérateur de disjonction, généralise l'union. Les plus employés sont le maximum et la somme (limitée à 1).

  
  

• Règle incomplète : Une règle floue sera dite incomplète si sa prémisse est définie par un sous-ensemble des variables d'entrée seulement. La règle, $SI x_2 est A_2^1 ALORS y est C_2$, est incomplète car la variable $x_1$ n'intervient pas dans sa définition. Les règles formulées par les experts sont principalement des règles incomplètes. Formellement, une règle incomplète est définie par une combinaison implicite de connecteurs logiques $ET$ et $OU$ opérant sur l'ensemble des variables. Si l'univers de la variable $x_1$ est découpée en $3$ sous-ensembles flous, la règle incomplète ci-dessus peut aussi s'écrire de la façon suivante :
  $SI \left(x_1 est A_1^1 OU x_1 est A_1^2 OU x_1 est A_1^3 \right) ET x_2 est A_2^1 ALORS y est C_2$.

  
  

• Exemple : un exemple ou individu est formé d'un vecteur d'entrée $x$ de dimension $p$ et, dans le cas général, d'un vecteur $y$, de dimension $q$.

  
  

• Degré de vérité : Pour une règle donnée, $i$, son degré de vérité pour un exemple, également appelé poids, et noté $w_i$, résulte d'une opération de conjonction des éléments de la prémisse : $w_i=\mu_{A_1^i}(x_1) \wedge \ldots \wedge \mu_{A_p^i}(x_p)$, où $\mu_{A_j^i}(x_j)$ est le degré d'appartenance de la valeur $x_j$ à l'ensemble flou $A_j^i$.

  
  

• Activité : Un exemple active une règle, ou bien une règle active un exemple, si le degré de vérité de la règle pour l'exemple est non nul.

  
  

• Seuil blanc : Un exemple est dit blanc ou inactif si le maximum de son degré de vérité, calculé sur l'ensemble des règles, est inférieur à un seuil, appelé seuil blanc.

  
  

• Prototype d'une règle : un exemple est un prototype d'une règle si son degré de vérité pour cette règle vaut un, donc si les valeurs de l'exemple sont des prototypes de tous les SEF de la prémisse.

  
  

• Système d'inférence floue (SIF) : Un système d'inférence floue est formé de trois blocs comme indiqué sur la figure 9. Le premier, l'étage de fuzzification transforme les valeurs numériques en degrés d'appartenance aux différents ensembles flous de la partition. Le second bloc est le moteur d'inférence, constitué de l'ensemble des règles. Enfin, un étage de défuzzification permet, si nécessaire, d'inférer une valeur nette, utilisable en commande par exemple, à partir du résultat de l'agrégation des règles.

  Figure 9: Un système d'inférence floue

  

  
  

• Sortie inférée par le système : Il s'agit d'une distribution de possibilité dont l'interprétation varie avec le type de règles. Elle dépend bien entendu de la base de règles et des différents opérateurs. Elle peut être réduite à une valeur précise que l'on note $\widehat y_i$ pour l'exemple $i$.

  
  

• Les règles, de la forme Si x est A alors y est C sont de deux types :
  1. Règles conjonctives : Dans ce cas la règle représente une connaissance positive, les entrées (A) et sortie (C) sont des paires de valeurs conjointement possibles. La sémantique de la règle est : Si l'entrée est de type A alors une valeur possible pour la sortie est C. La relation entre l'entrée et la sortie de la règle est modélisée par une conjonction (t-norme). Ces règles s'inspirent de la philosophie des bases de données, c'est possible car je l'ai observé, et implémentent le raisonnement par similarité. La sortie est une distribution de possibilité garantie.

  2. Règles implicatives : La règle représente une connaissance négative, et la sémantique devient “Si l'entrée est de type A alors la sortie est obligatoirement dans C”. Cette deuxième forme d'expression, plus formelle, est issue de la branche logique et intelligence artificielle de l'informatique. Au lieu de procéder par accumulation, elle procède par élimination : sont écartées les valeurs qui ne respectent pas les contraintes. La relation entre l'entrée et la sortie de la règle est modélisée par une implication, éventuellement floue. La sortie est une distribution de possibilité potentielle (usuelle). Le passage, pour un expert, de la connaissance positive à la connaissance négative suppose une étape de modélisation.

  Pour une comparaison plus approfondie entre les deux types de règles, se reporter à [12].

  
  

• Mécanisme d'inférence : deux sont nécessaires
  1. FITA : First Infer Then Aggregate. Il permet d'inférer une valeur pour chacune des règles avant de les agréger. Il est utilisé pour les règles conjonctives ainsi qu'avec les règles implicatives lorsque les valeurs d'entrée sont précises.

  2. FATI : First Aggregate Then Infer. Dans ce cas, toutes les contraintes (règles) sont agrégées pour inférer la distribution de possibilité. Plus lourde à mettre en uvre, cette méthode est indispensable pour des règles implicatives dès lors qu'au moins une des données est imprécise.