Règles conjonctives

Les règles conjonctives sont rassemblées en deux familles :

1. Mamdani : La conclusion est un ensemble flou, la règle s'écrit :
   $SI x_1 est A_1^i ET \ldots ET x_p est A_p^i ALORS y_1 est C_1^i \ldots ET y_q est C_q^i$

   où $A_j^i et C_j^i$ sont des ensembles flous qui définissent le partitionnement des espaces d'entrée et de sortie.

   
   

2. Takagi-Sugeno : Dans le modèle de Sugeno la conclusion de la règle est nette. Celle de la règle $i$ pour la sortie $j$ est calculée comme une fonction linéaire des entrées : $y_j^i = b_{jo}^i + b_{j1}^i x_1 + b_{j2}^i x_2 + \cdots + b_{jp}^i x_p$, également notée : $y_j^i = f_j^i(x)$.

   Pour des raisons d'interprétabilité, dans FisPro, la sortie est limitée à une constante au lieu de cette combinaison linéaire des entrées.

• L'agrégation: Elle est disjonctive pour les règles conjonctives, signifiant que chaque règle ouvre une nouvelle possibilité pour la sortie. Les deux principaux opérateurs sont le maximum et la somme. Les conclusions des règles pour la sortie sont des valeurs numériques pour une sortie nette ou bien des numéros de sous-ensembles flous pour une sortie floue. On obtient ainsi un ensemble de valeurs possibles.
  Pour chacune de ces valeurs, les degrés de vérité des règles sont cumulés pour une agrégation de type sum ou bien seul le maximum est conservé, cas d'une agrégation de type max. Le degré de vérité résultant de l'agrégation est stocké dans le tableau MuInfer, le tableau RuleInfer contient le numéro de la règle correspondant au max, agrégation max, ou bien celui de la dernière règle dont le degré de vérité a été ajouté, agrégation sum.

  Notons :

  $m$ le nombre de termes linguistiques de la partition de la variable de sortie (sortie floue) ou le nombre de valeurs différentes des conclusions des règles (sortie nette).

  $C^r$ la conclusion de la règle $r$.

  Les niveaux d'activation résultant de l'agrégation sont :

  • max: $$\forall j =1,\ldots,m$$
    $\qquad W^j = \left \{ \underset{r}{max} \left( w^r(x) \right) \vert C^r = j \right \}$

  • sum:
    • sortie nette $$\forall j =1,\ldots,m$$
      $\qquad W^j = \left \{\sum\limits_r \left( w^r(x) \right) \vert C^r = j\right \}$
    • sortie floue $$\forall j =1,\ldots,m$$
      $\qquad W^j = min \left ( 1, \left \{ \sum\limits_r \left( w^r(x) \right) \vert C^r = j \right \} \right )$

• La défuzzification: Cette opération, indispensable pour les règles conjonctives, utilise les résultats de l'agrégation.

  
  Les opérateurs de défuzzification sont différents selon le type de sortie, nette ou floue.

  • sortie nette
    1. opérateur de sugeno

       $$\widehat y_i=\frac{\sum\limits_{j=1}^{m}{W^j C^j}}{\sum\limits_{j=1}^{m}{W^j}}$$ (4)

       
       

    2. opérateur MaxCrisp

       $$\widehat y_i=\left \{ j=argmax \left( W^j \right) \vert j=1\ldots m \right \}$$

       
       

  • sortie floue

    La figure 10 illustre le processus de défuzzification pour une sortie floue.

    Figure 10: Un exemple de défuzzification

    
    1. pondération par les aires Cet opérateur favorise l'interpolation entre termes linguistiques. La sortie est calculée suivant l'équation 5.

       $$\widehat y_i=\frac{\sum\limits_{j=1}^{m}{\alpha}^{C^j} area(C_{\alpha}^j)}{\sum\limits_{j=1}^{m}area(C_{\alpha}^j)}$$ (5)

       
       
       où $m$ est le nombre de sous-ensembles flous dans la partition,
       $\alpha = W^j$ est le niveau d'activation résultant de l'ensemble $j$, ${\alpha}^{C^j}$ est l'abscisse du centre de gravité de $C_{\alpha}^j$, et $C_{\alpha}^j$ un nouvel ensemble flou, défini à partir de $C^j$ comme :
       $$\mu^{C_{\alpha}^j}(x_i)= \left\{\begin{array}{cl} \mu(x_i) & \qquad if \mu^{C^j}(x_i) \le \alpha\\ \alpha & \qquad sinon \end{array}\right.$$

    2. moyenne des maxima La sortie vaut $\widehat y_i= mm$ (figure 10). Cet opérateur considère seulement le segment correspondant au niveau d'activation maximum. Aussi, il travaille principalement au sein d'un terme linguistique.

    3. sugeno Cet opérateur utilise la même formule que pour une sortie nette (équation 4), mais $C^j$ représente cette fois le milieu du noyau du SEF $j$.