Règles implicatives

L'agrégation des règles implicatives est conjonctive, signifiant que chaque règle impose une contrainte sur la sortie. La prise en compte de l'ensemble des contraintes se fait donc au moyen d'un opérateur d'intersection (t-norme). Si aucune règle ne s'applique, la sortie est l'ensemble flou universel, lorsqu'on ne sait rien toutes les valeurs de sorties sont également possibles.

Trois opérateurs d'implication sont disponibles :

• Resher-Gaines : $$\displaystyle a \to b = \left\lbrace \begin{array}{l l} 1 & \qquad si a \le b \\ 0 & \qquad sinon \end{array}\right.$$

• Goguen : $$\displaystyle a \to b = \left\lbrace \begin{array}{l l} 1 & \... ...a = 0 \\ min(1, \frac{b}{a}) & \qquad sinon \end{array}\right.$$

• Gödel : $$\displaystyle a \to b = \left\lbrace \begin{array}{l l} 1 & \qquad si a \le b \\ b & \qquad sinon \end{array}\right.$$

L'opérateur Resher-Gaines n'est pas flou : la distribution de possibilité produite correspond au noyau des deux autres, Goguen et Gödel.

Les partitions des variables de sortie doivent être adaptées pour tenir compte du mode d'agrégation particulier aux règles implicatives. Nous proposons le concept de partition quasi forte (PQF) comme compromis entre interprétabilité et cohérence. En effet la PQF est dérivée d'une PFF, dont nous connaissons les avantages en terme d'interprétabilité, et les ensembles flous supplémentaires permettent d'assurer une intersection non vide lorsque plusieurs règles sont activées du fait de la multi-appartenance en entrée. Le figure 11 montre une PFF et la PQF équivalente.

Figure 11: Partitions floue forte et quasi forte équivalentes

Les règles implicatives offrent plusieurs avantages par rapport aux règles conjonctives :

• Modus Ponens : La version classique, $A \wedge (A \to C) \models C$, est généralisée par l'usage des ensembles flous et d'une implication floue : $A' \wedge ( A \to C ) \models C'$.

• Indépendance inférentielle : Dans la base de règles $\{A_j \to C_j, j = 1, \dots, n\}$, la sortie inférée pour la donnée $A_i$ est égale à $C_i$, s'il existe la règle $A_i \to C_i$, quelles que soient les autres règles présentes dans le système.

• Respect de l'imprécision : Comme l'accumulation des règles se traduit par une élimination des valeurs possibles pour la sortie, l'imprécision résultante a du sens et peut être analysée.

  Il est également possible d'en extraire une valeur précise par défuzzification. L'implémentation actuelle ne permet pas de paramétrer l'opérateur de défuzzification. Celui qui est appliqué par défaut est la Moyenne des maxima, qui correspond au milieu du noyau de la distribution.

• Détection des conflits : Une distribution de possibilité vide en sortie traduit une incohérence dans la base de règles, les contraintes ne sont pas compatibles.