Distribution de possibilité

Soit U un ensemble d'événements élémentaires, $u$. On appelle mesure de possibilité et on note $\Pi$ une fonction définie sur l'ensemble des parties $P(U)$ de $U$, à valeurs dans $[0, 1]$ telle que :

• $\Pi(\emptyset) = 0$
• $\Pi(U) = 1$
• $\forall i, A_i \in P(U), \Pi(\bigcup A_i) = sup \Pi(A_i)$

Un degré de possibilité $\Pi(A)=1$ indique que l'événement $A$ est complètement possible, inversement $\Pi(A)=0$ signifie que $A$ est impossible.

Une distribution de possibilité assigne à chaque élément $u$ de $U$ une possibilité $\pi(u) \in [0, 1]$. La distribution est normalisée : $\sup_{u \in U}\pi(u) = 1$.

Possibilité garantie

Une mesure de possibilité garantie $\Delta$ est une fonction définie sur l'ensemble des parties de $U$, à valeurs dans $[0, 1]$ telle que :

• $\Delta(\emptyset) = 1$
• $\Delta(A_1 \cup A_2) = min(\Delta(A_1), \Delta(A_2))$

Relation entre le degré de possibilité et degré de possibilité garanti :

$$\forall A \subseteq U, \Delta(A) = inf_{u \in A} \pi(u)$$

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Donc, lorsque $\Delta(A) = \alpha$, tous les événements élémentaires $u \in A$ sont garantis possibles au niveau $\alpha$.

Les distributions de possibilité garantie sont notées $\delta$.

Interprétation des degrés de possibilité et possibilité garantie

• $\pi_X(u)=1$ : rien n'empêche $x$ d'être égal à $u$, $u$ est une valeur complètement possible.

• $\pi_X(u)=0$ : $u$ est une valeur impossible pour $x$.

• $\delta_X(u)=1$ : $u$ est une valeur possible pour $x$, par exemple parce qu'elle a été observée.

• $\delta_X(u)=0$ : cela ne signifie pas que $u$ est une valeur impossible pour $x$, mais indique seulement que rien ne la garantit.